走る蒸気機関車の模型を考える

By　田端機関区Ｄ５１　さん　　2004/5/12

長い長い貨物列車を牽き、重連で勾配を上ってくる蒸気機関車。その姿の力強さは見るものを圧倒させる。そんな情景を模型で再現できたらと、いろいろな人が苦労してきた。サウンド、スケールスピードといったリアリティーの追求がまさにそれだ。しかしながら、そのリアリティーも完璧には望めない。それは模型の制約からきている。たとえば、模型では実物と同じ精度で線路などを作ることは到底不可能であり、その上、狭いスペースの関係から急勾配・急曲線になる。こういった制約の中で実感的に蒸気機関車それも編成列車をいかにして走らせるかを牽引力という観点から検討してみようと思う。

まず、模型の制限が実物に対して大変にゆるい点を考えてみる。それは機関車の重量である。実物の場合、特に蒸気機関車にとっての制約で最も厳しかった軸重制限が模型にはないためだ。軸重制限とは車軸 (特に動輪)1軸に乗せられる重量の制限で日本の場合、路盤、レールの関係から東海道本線クラスの特甲線(1959年以降は1級線と呼ばれるようになった)でも16t程度でC62形では三軸の動輪上重量が合計で48.2ｔだった。これをＮゲージの日本スケールにあわせて150の三乗で割ると(重量は体積に比例すると考えた上で)14.28グラムとなる。つまり、軸重５グラムないということだ。僕はＣ62の模型を持っていないので、模型との比較のためにＤ51形で見ると実物が軸重14.63tでKATOの模型の場合スケール通りならば(KATOの蒸機はオーバースケールで大体1/140ぐらいで作られているので)5.3グラム程度である。実物ではC62 のほうが軸重が大きいのに模型の換算ではD51の値のほうが大きくなっているのはC62を 1/150、D51をKATOスケールの1/140で計算しているためで、KATOスケールで C62を計算すると5.8グラム程度となる。ちなみに、これからの表記では縦横高さ1/150を日本スケール(主に客車貨車やワールド工芸などの金属製蒸気機関車模型。体積は、1/(150の三乗)＝1/337500)、縦横高さ1/140をKATOスケール（体積は1/(140三乗)=１/2744000）、縦横は１/150で高さだけ1/140をマイクロエーススケール(腰高気味で体積は1/(150の二乗×140)＝1/3150000)、縦横高さ1/160を標準スケール(新幹線･外国など。体積は1/(160の三乗)＝1/4096000)と表記する。一方アメリカでは30tを超える軸重を許容するだけの線路を持っており、有名なところではペンシルヴァニア鉄道のK４(軸配置パシフィックの蒸機)は動輪3軸で96tつまり軸重32ｔで標準スケールでは7.8グラム程度になり日本のとの差を感じられる。

さてここで、Ｎゲージの模型蒸機の軸重はどうなのだろうか？ちなみに模型の軸重は動輪以外の先従輪を取り外して計った機関車重量(動輪上重量)を動輪軸数で割ったものである。ここで、KATOスケールのＤ51を計ってみようと思う。そこで、D51をテンダーつきのまま計りに載せてみると、116グラムと計測された。これはKATOスケールで約318tとなる。これは実物の78.4ｔの約4倍だ。一方、軸重は約21グラム、KATOスケールで58ｔとアメリカの30ｔ級よりも重く、実物のＤ51のやはり4倍程度となる。ほかの車両もあとで表にまとめるが、このKATO製 D51はNゲージの車両の中でもかなり重い部類である。
　　なぜ、これほどまで重い車両が普通に模型では走れるのだろうか。その答えは線路と車両重量の縮尺の違いである。今まで車両重量の実物換算に重量と体積が比例すると仮定してスケールの三乗で計算してきたのはお分かりだと思う。一方でその重量を受ける地面は面であり線路の太さも断面積である。もうお分かりだと思うが重量が1/三乗でスケール通りなのに対して、それを受ける線路は1/二乗がスケール通りとなっているのだ。つまり、線路にとってスケール通りの重量で作られた車両の重さは実物のレールが受ける重量に対するとスケール一乗分軽くなるのだ。逆の言い方をするとレールにはＮゲージの場合、スケール重量の約150倍程度の余裕があるのだ。だから、スケール重量の4倍もの重い機関車が走れる上に真鍮や洋白などの鉄よりやわらかい素材でレールが作れるのだ。しかも、Ｎゲージの線路は大抵オーバースケールのため、さらに余裕ができる。この関係に似たもので航空機に関する法則を二乗三乗法則という。これは機体が大きくなったり小さくなったりすると空気力は翼面積分つまり約二乗変化し(迎角などの変化は無視)、重量は三乗分変化することである。このように模型にも二乗三乗法則に近い関係が起きるのだ。

さて、このようなスケールより重い車両が実感的に走るにはそれなりの力が必要となる。さらに、模型には実物よりきついカーブや勾配、それに伴った走行抵抗の増加がある。さらには車輪の転がりの悪さ、二乗三乗の法則による線路に対する車両の軽量さから慣性はからきし駄目なことが拍車をかける。こんな中で編成列車を走行させるには実物よりも一定機関車重量あたりの動力性能が強力である必要が出てくる。さて、Ｎゲージの蒸気機関車の牽引できる列車は実物の牽引できる量と相対的に同じなのだろうか？
　　そこで僕の鉄道に在籍する蒸気機関車の中から走行性能が優れていると思われる10台を選んで測定してみた。ちなみに家にある機関車の両数は14台で、測定に使わなかった4台はナローゲージ風小型機関車やマイクロエースエース製の高さオーバーの激しいものだ。ここではマイクロエーススケールの体積換算の不都合があるため(純粋な模型の体積重量比較ができない)同社の小型機を除外し、マイクロエースエース製は傑作と称される3つと古典機(高さのみが高く換算されることはない物)のみとした。測定方法は図１のとおりでいたって簡単だ。

表３　模型と実物の重量の比較

スケールは最初の表に表記してあるのでそれを見ていただきたい。まず、軸重(ここだけ有効数字が一桁多いのは実物換算で動輪複数を考慮したため。ほかの有効数字が整数止まりなのははかりが1グラム単位だったため)は実物換算で大体実物の4倍強ぐらいが普通だ。しかし、実物換算のトータル重量が実物の2倍程度なのだ。中には実物の1.5倍以下というものもある。これは動輪上重量の割合が大きいためだ。
　　動輪上重量の割合は動輪上重量/エンジン重量を%で表したもの(エンジン重量とはテンダーを除いた重量)で実物ではC62の軽量型が50%と大型機関車ほど%が低くなりやすい(4110 は実物も全軸駆動なので100％)。実物の大型の先従輪つきの機関車では多くても80%程度、普通は60%強で模型より格段に小さい。これは動輪がロッドでつながっているために全軸駆動にできず機関車中央にできるだけホイールベースを短く取ってまとめ、軸重制限でまかない切れない重量を先従輪で負担したためだ。しかし、模型の場合は軸重制限が甘く、先従輪は脱線しない程度の重量をかければよいため90%を優に超える数値が出てくるのだ。こうすると今度は別の問題が出てくる。模型は重量配分が変わっても実物と同じ形をしている。すると今度は短くまとめられた動輪ホイールベース(エンジン全長の20から30％)だけで機関車のほとんどを支えることになり前後バランスが悪くなる。もし、C62の模型などをお持ちだったら先従輪をはずしてみてほしい。前後が浮かんでいるように見えないだろうか？つまり真ん中の一部で車両全体を支えているのだ。つまり、電車などの車体両端に台車が着く車両に比べ極端に前後安定性が悪くなる。
　　このような状況では重心位置の設定が牽引力に響いて来やすい。一般には、動輪全軸の重量配分が同じであるのが望ましい。つまり、模型で軸重(上の表はすべて平均軸重で計算、実物の蒸気機関車の場合は最大軸重で計算)と表記した数値が1軸あたりにかかって、重量を動輪全軸で均等に支えるのが望ましいはずだ。たとえばHOゲージ以上の車両では車両の牽引力アップに鉛の補充で重量をアップすることが一般的だが、その場合は重心位置に気をつけないと重心がかなり前がちとなり、逆に牽引力が落ちることもあるらしい。しかし、 Nゲージの蒸気機関車の場合は特定の軸にゴムタイヤを履かせているためそのことが違ってくる。ゴムタイヤは金属車輪に比べて格段に滑りにくい。さらにこのゴムタイヤに荷重をかければさらに滑らなくなる。つまりゴムタイヤのある車軸上に走行中重心がくるようにすれば一番牽引力が上がるということだ。そのため、ゴムタイヤが最後尾の動輪についているN ゲージの蒸気機関車の場合、重心をかなり後ろにとったほうが牽引力が大きくなる。また、Nゲージの蒸気機関車のほとんどはキャブに大きなモーターを積んでいるため、HOなどのように重心が前がちにならず、むしろ中央からやや後ろよりにあるのが普通だ。しかし、ゴムタイヤは磨り減ったりして車輪の精度は金属車輪よりも格段に悪い。そのゴムタイヤに荷重をかけるのは単に重心がゴムタイヤ上にあるだけでは無理だ。その例としてマイクロエースエースの9600を上げよう。この機関車の重心は第三動輪よりやや前にある。そして第三動輪にゴムタイヤがはまっている。つまり、大体重心がゴムタイヤ上にある。しかし9600はD形なので第三動輪の後ろに第四動輪があり、その第四動輪が後ろの荷重を受け持っている。僕の見たところ走行時、客車などから後ろへ引っ張られる機関車は最も滑りにくいゴムタイヤつき動輪とレールの接点を中心にテコの様に前側が上がり気味、後ろ側が下がり気味となり、重量の大半は後ろ側の車輪にかかるようだ。そのときゴムタイヤの後ろに動輪(荷重を受ける車輪なら動輪でなくてもよい)が無ければ後ろに偏った重量すべてをゴムタイヤで受け持つことになるが、後ろに動輪がある場合は後ろに偏った荷重を後ろ側の車輪と分散して持つ形となるためゴムタイヤへの荷重は減ることが多く、極端な場合ゴムタイヤが磨り減って線路に密着せず、ほとんどゴムタイヤが機能してないこともある。そのため前進での牽引力はやや劣るが、前にも述べたとおり逆行でも荷重の変化が少なくできているため全後進の牽引力差が比較的少ない。一方、重量と最後部の動輪についたゴムタイヤで牽引力を稼いでいるD51は後進の牽引力が極端に落ちている。しかし、9600と違いゴムタイヤが磨り減っても浮き上がることは無く、逆に金属車輪を浮き上がらせてでもゴムタイヤが線路に密着するように力が働く。しかし、後進ではそのゴムタイヤが浮き上がりやすくの牽引力は極端に劣るのである。

このように牽引力についてみてきたが、これから模型を走行させるに当たって一番重要な、｢実物と同じ編成列車｣を走らせられるか考えてみようと思う。実物では牽引可能な列車の量を考える基準に牽引定数というものがある。これはその機関車が10ｔの車両を何両引き出せるか、またはある速度で牽引し続けられるかということを示した値だ。間違えないでほしいのは牽引定数とは牽引力を10tで割ったものではないことだ。実際実物のC62でも牽引力はわずか19ｔしかない。しかし数百トンの列車を平坦線で牽引できる。これは列車を動かすための力が列車の総重量に比べてきわめて小さいためである。実際、10トンの貨車を人が一人で勾配が無ければ牽引可能といわれている。実物の場合、平坦な場合、プレーン軸受け(メタルによる軸受け。旧型車両に用いられる。)で車両重量の0.７%以下、コロ軸受け(ローラーベアリングによる軸受け。現在使用されている車両のほとんどがこれを用いている。)で 0.3%程度だという。昔はプレーン軸受けが主流だったため操車場内の勾配は3‰以下という基準だった。これは3‰つまり車両重量の約0.3%の力と風などの力が掛かってもプレーン軸受けは転がりださないから設けられた基準だ。0.3%に｢約｣をつけたのは勾配の表現｢‰｣は勾配の角度のタンジェントであるのに対して、勾配上で車両が斜面と平行に受ける力は車両重量×勾配の角度のサインとなるためだ。ただ、一般の鉄道の勾配では角度が極めて小さいため水平方向の距離とレール上の距離がほとんど同じなので、車両にかかる力ともおおよそ一致するのだ。このように勾配上では車両重量の勾配と同じぐらいの力が走る方向にかかる。ここから分かったと思うが牽引定数は勾配によって変化する。同じ牽引力でも勾配上では付随する列車から機関車にかかる力が違ってくるからだ。蒸気機関車の末期、室蘭本線ではD51形(一般には1000t牽引と言われるが勾配が10‰以下の線区では1150ｔ持たされるのが常だったという)単機で常識をはるかに超えた総重量2400tの石炭列車を走らせていた。石炭の貨車はプレーン軸受けなので2400tの0.7%、それに発車抵抗の分を考えて0.8％として、勾配が無い区間で牽くために必要な力を計算すると11t程度となる。これはあくまで勾配がまったく無い場合なので現実ではこれの1.5倍程度必要になるだろう。しかし室蘭本線には数‰の上り勾配しかないので可能だったのであって、もし25‰の線区だったらわけが違う。25‰の区間では列車は常に車両重量の2%強が坂の下のほうへ向く力としてかかっている。つまり、車両が元から持っている抵抗に加えて勾配抵抗がかかり、プレーン車軸の場合トータルで牽引に必要な力は車両重量の3%以上になる。つまり、平坦線と勾配線では数倍の牽引定数の違いが出てくるのだ。

ここまでは牽引定数つまり機関車の引っ張れる最大の列車重量を話してきたが今度は列車の定数に入る。簡単に言ってしまえば機関車の牽引定数より列車の定数が少なければその列車をその機関車が引けるということで、逆に言うとある線区で列車の換算定数何車分の列車を引けるかをその機関車のその線区における牽引定数としているのだ。実物の機関車列車の場合、出発前に列車の定数が通知される。たとえば上越線のＳＬ奥利根号の場合は｢現車6車　換算21.5車(21車半)｣となる。これは客車が6両で210ｔという意味だ。換算は単純に列車重量を10ｔで割っただけであるため軸受けの種類や勾配によって必要な牽引力は変わってくる。また、列車の定数には積車重量(客や貨物が乗っている状態)と空車重量があって、上の換算は積車重量となっている。奥利根号の場合、12系客車が用いられているので編成の内訳はオハ12が2両にオハフ13が3両、スハフ12が1両となり、換算するとオハ12とオハフ13が空車3車･積車3.5車、スハフ12が空車3.5車･積車4車となるのだ。一方、その列車を引くD51形の牽引定数は上越線の高崎～水上で100車ほどあり余裕たっぷりということになる。

さてここから、模型の牽引定数の話に入る。模型の場合軸受けにはパブローラー車輪を除いてコロは用いられず、大抵はピボット軸受けかプレーン軸受けだ。ピボット軸受けとは車軸先端を尖らせて先端の一点で回転軸を支えることで軸受け内の摩擦を減らすように作られた軸受けでＮゲージでは最も一般的な軸受けの形態だ。しかし、このピボット軸受けも実物の軸受けに比べて精度が悪いため、一点のみで回転軸を保持することにならず軸の側面で保持することになり、実質プレーン軸受けと同じになっている。それでも本当のプレーン軸受けよりは摩擦は少ない。力学のクーロンの法則で摩擦は見かけの面積に関係せず、重量だけに左右されると習ったのでプレーン車軸とピボット車軸の軸受けの面積の違いは重量が同じなら摩擦とは関係ないはずだ。しかし、実際は軸受け内の微妙な引っ掛かりが多数あるため当たる面積が広いほどこの引っ掛かりが多くなり力学の理論とは反する結果になる。話がやや脱線するがこれと同じことが動輪の軸数にも関係する。実物の場合は軸重制限が厳しいので動輪軸数が多いほど粘着重量を増やせるため動輪と線路の摩擦が大きくできる。これは理論と一致するがとある HOゲージの運転会で貨物列車を走らせたとき動輪3軸のＣ57では牽引できなかった列車をそのＣ57より軽い動輪4軸の9600が軽々と牽引できたという。もちろんＮゲージのようにゴムタイヤのような特殊なものは使っていない。話を元に戻すとＮゲージを走らせるにあたって重要なのは精度のよいピボット軸受けということになるだろう。
　　さて、このピボット軸受けはどれぐらいの転がりを実現できるのであろうか。残念ながら実物のプレーン軸受けの最低ラインにも届かない車両が多数あるのが現状だ。とあるホームページから調べるとＮゲージのトレーラーの牽引に必要な力は車両重量の0.7%程度の実物並から5%までばらつき、平均では2.5%程度だという。実際実験でも大体その程度の値がでたのでほぼ正確だといえるだろう。これを元に模型の蒸気機関車の牽引定数を下の表にまとめる。模型の牽引定数では10ｇを1車と換算した。10gは大体模型のワム80000形２軸貨車の重量で実物でも約 10tとほぼ実物の定数と同じなのが好都合だからだ。表４には直線と曲線の牽引定数が平坦線と勾配線で書かれている。曲腺の牽引定数を書いた理由は模型が実物に比べてきついカーブを走っているために曲線抵抗が大きくかかわってくるためだ。具体的には直線に対して半径250ミリのカーブは抵抗が車両重量の1%ふえる。実物ではカーブ半径が100メートルきつくなると車両重量の0.1%抵抗が増えるという。

表４　平坦・勾配・曲線路における牽引定数

さて、この表に照らして考えてみよう。ここではテスト用線路として任意の勾配が作れる長さ2ｍの直線を用意した。牽引に使うのは全車両35g(3.5車)に統一させた12系客車と適当に混ぜた貨車の2編成だ。それぞれフル編成で換算35車･40車となった。D51とHeavy Mikadoは両方の列車を60‰区間で牽引可能だった。勾配を60‰に設定したのは50‰プラス曲線抵抗に近い値を出すためだ。実際は60‰で計算すると抵抗が50‰プラス曲線より多くなるため、この区間を走れれば50‰曲線区間で余裕を持って牽引できるということになる。一方ほかの車種では大体上の数値に等しい値を示した。ただ、貨物列車は軸数が多い分、抵抗が大きいようでやや計算値より少なくしか牽引できないものも見られた。平坦にするとどの機関車も軽々と換算40車の貨物列車を引くことができた。このように考えるといかに勾配が列車の走行の抵抗になるかが分かる。また、いい加減な計測であっても実際に試してみてその結果が計算値と一致したことから今まで考えてきたことが正しいことも実証できた。実験結果から思ったことはレイアウトでの最大勾配を40‰以下(勾配と曲線の抵抗が合わさっても50‰直線走行程度の抵抗ですむ)に設定し客車など20ｍ程度のボギー車は現車1車･換算４車で計算してあげれば余裕を持って走行可能ということだ。

さて今回は秤を使ってスタンディングスタート形式で牽引力を計測したが、最後の実験で行ったような任意の勾配が作れる直線を用意し、機関車が走行不能になる最急勾配を測定することでその勾配のサインを求め機関車の自重に掛け合わせて牽引力を求める方法もある。これの難点は重心が勾配のきつさによって変化してしまうため今回のような蒸気機関車の場合ゴムタイヤへの加重が変わり、牽引力が変わってしまう恐れがあることだ。しかし一方で正確なサインの値さえ求めればもっと正確に0.1g単位でも計測ができる強みもある。こういった方法も試行錯誤をして試してみてもいいと思う。

最後になったが牽引力は走る模型の大切な基準であることを感じていただけただろうか。本来ならば曲線抵抗などももっと詳しく半径別に計測したり、最小通過半径なども調べたりすべきだったかもしれないが、今回の実験程度でも走る模型の性能について知ることができたことに意義があると思っている。

参考文献

http://shazba.hp.infoseek.co.jp/page019.html(｢おきらく研究所｣　はいで氏)

RM　MODELS　温実模知のすすめ(斉藤晃氏)

（'04/5/12はいでコメント）
田端機関区Ｄ５１さん，素晴らしいレポートをありがとうございます．斎藤晃さんがＲＭＭで連載されている「温実模知のすすめ」のＮゲージ編といった，実物の情報を元にした研究内容に脱帽いたしました．田端機関区Ｄ５１さんは，かなりの力学的センスをお持ちの方だとお見受けいたしました．
　　ご投稿頂いた原稿はワード形式で，とても読みやすいものでした．しかし，ＨＰにアップするにあたって，横長ディスプレイによっては読みにくいこともあるかと思い，一部改行や，太字・赤字による強調をさせていただきました．原文の趣が再現できなかったことを，田端機関区Ｄ５１さんおよび読者の皆様にお詫びいたします．