補足：３次関数による緩和曲線の導出過程
ここでは，３次関数による緩和曲線の導出過程のご説明をいたしますが，正直言って，あまり説明が丁寧ではなく，私の忘備メモに近いのが現状です．とりあえず，中ほどの曲率（半径の逆数）の図（横軸：直線の延長の位置，縦軸：曲率）を見ていただければ，よろしいかと存じます．将来的には高校生の皆さんにも理解できるようにしたいものです．
第１段階 緩和曲線長さの誘導
まず，座標系を決めます．水平方向にｘ軸を，鉛直方向にｙ軸をとり，それぞれ右，上を正の向きとします．直線区間は水平で左から右に走り，原点で左旋回するものとします．
そこで緩和曲線を
――――――(1)
とおきます．これをベクトル表示して，緩和曲線の位置ベクトルを
とすると，
――――――(2)
とかけます．ここで，ｓは原点からの緩和曲線ぞいの長さ，
はｘ方向の単位ベクトル，
はｙ方向の単位ベクトルです．
さて，緩和曲線上の微小長さdsは，三辺法の定理から
――――――(3)
です．したがって
――――――(4)
――――――(5)
ここで式(1)から
――――――(6)
となります．これで横方向の位置xを指定すれば曲線の長さsがもとまります.
第２段階 接線ベクトルの誘導
接線ベクトルを
とします．
――――――(7)
ですが，いきなり
をsで微分できないので，ｘで微分すると
――――――(8)
となります．そこで，式（６），（８）を利用して
となります．
第３段階 曲率の誘導
曲率ベクトル
を求めます．なお，
(R:半径)です．
さて，
――――――(9)
でもとめられます．そこで
――――――(10)
となるので，
は
――――――(11)
となります．
ここで，気分をかえて，曲率（＝１／半径）の絶対値のグラフをご覧下さい．
のグラフを下図に示します：横軸がx，縦軸が （＝１／R)です.
=1/R |
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位置 x
図１ ３次曲線の曲率
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このグラフの特徴は
１）ｘ＝０で曲率が０，つまり緩和曲線の始まりでは直線です．
２）ｘがある値（この場合ｘ＝０．４付近）で曲率が最大になる．しかも，この付近では曲率は変化しない，つまり円の一部（弧）が存在する．
そこで，上図の場合，ｘ＝０で直線に，ｘ＝０．４付近で曲率１．７（半径＝1／１．７）の円にスムーズにつなげます．
第４段階 定数項aの決定
それでは，半径Roの円につなげるための定数項aもとめます．曲率が最大になるときのｘをxoとすると，式（１１）をｘで微分したものを０とおくと求まり,
――――――(12)
のときです．そしてこのときの曲率
は
――――――(13)
です．ここで
なので式（１３）から
となります．このaを式（１）に代入することで，半径Roを指定したときの緩和曲線が求まります．
第５段階 緩和曲線と本来の曲線との接続
ｘ=xoのときの緩和曲線の傾きは
となるので，xoにおける緩和曲線とｘ軸とがなす角度pは
(rad)
となります．これをdeg換算すると24.1°になります．したがって，Roにかかわらず，24.1deg向きを変えたところで半径一定の曲線に合流します．したがって，半径一定の円は24.1°のところで繋げばよいことがわかります．
