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補足:3次関数による緩和曲線の導出過程


ここでは,3次関数による緩和曲線の導出過程のご説明をいたしますが,正直言って,あまり説明が丁寧ではなく,私の忘備メモに近いのが現状です.とりあえず,中ほどの曲率(半径の逆数)の図(横軸:直線の延長の位置,縦軸:曲率)を見ていただければ,よろしいかと存じます.将来的には高校生の皆さんにも理解できるようにしたいものです.

第1段階 緩和曲線長さの誘導
まず,座標系を決めます.水平方向にx軸を,鉛直方向に軸をとり,それぞれ右,上を正の向きとします.直線区間は水平で左から右に走り,原点で左旋回するものとします.
そこで緩和曲線を――――――(1)
とおきます.これをベクトル表示して,緩和曲線の位置ベクトルをとすると,

――――――(2)

とかけます.ここで,sは原点からの緩和曲線ぞいの長さ,方向の単位ベクトル,方向の単位ベクトルです.
さて,緩和曲線上の微小長さdsは,三辺法の定理から

――――――(3)

です.したがって

――――――(4)
――――――(5)

ここで式(1)から

――――――(6)

となります.これで横方向の位置xを指定すれば曲線の長さsがもとまります.

第2段階 接線ベクトルの誘導

接線ベクトルをとします.

――――――(7)

ですが,いきなりsで微分できないので,で微分すると

――――――(8)

となります.そこで,式(6),(8)を利用して




となります.

第3段階 曲率の誘導

曲率ベクトルを求めます.なお, (R:半径)です.

さて,――――――(9)



でもとめられます.そこで――――――(10)

となるので,

――――――(11)

となります.

  ここで,気分をかえて,曲率(=1/半径)の絶対値のグラフをご覧下さいのグラフを下図に示します:横軸がx,縦軸が (=1/R)です.




=1/R
3次曲線の曲率グラフ
位置 x 

図1 3次曲線の曲率



このグラフの特徴は

1)x=0で曲率が0,つまり緩和曲線の始まりでは直線です.


2)xがある値(この場合x=0.4付近)で曲率が最大になる.しかも,この付近では曲率は変化しない,つまり円の一部(弧)が存在する.
そこで,上図の場合,x=0で直線に,x=0.4付近で曲率1.7(半径=1/1.7)の円にスムーズにつなげます.

第4段階 定数項aの決定

それでは,半径Roの円につなげるための定数項aもとめます.曲率が最大になるときのxをxoとすると,式(11)をxで微分したものを0とおくと求まり,
――――――(12)

のときです.そしてこのときの曲率

――――――(13)

です.ここでなので式(13)から



となります.このaを式(1)に代入することで,半径Roを指定したときの緩和曲線が求まります.

第5段階 緩和曲線と本来の曲線との接続

x=xoのときの緩和曲線の傾きは

となるので,xoにおける緩和曲線とx軸とがなす角度pは
(rad)
となります.これをdeg換算すると24.1°になります.したがって,Roにかかわらず,24.1deg向きを変えたところで半径一定の曲線に合流します.したがって,半径一定の円は24.1°のところで繋げばよいことがわかります.

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